Question

已知向量，，且．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设曲线与直线相交于不同的两点，又点，当时，求实数的取值范围．

Answer

(1).(2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是.

【解析】

试题分析：(1)由题意得，，

，计算并化简得.

(2)由得，

由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即.

讨论当时，得所求的的取值范围是；

当时，得m的取值范围是.

(1)由题意得，，

∵，∴，

化简得，∴点的轨迹的方程为. 4分

(2)由得，

由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即.① 6分

(i)当时，设弦的中点为，分别为点的横坐标，则，

从而，， 8分

又，∴.

则，即， ②

将②代入①得，解得，由②得，解得，

故所求的的取值范围是. 10分

(ii)当时，，∴，，

解得. 12分

综上，当时，m的取值范围是，

当时，m的取值范围是. 13分

考点：平面向量的数量积，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系.