Question

已知).

（1）若时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在实数，使在上的最小值是.

【解析】

试题分析：（1）当时， ，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；

（2）函数在上是减函数，转化成在上恒成立；

令，解即得；

（3）假设存在实数，使在上的最小值是，根据，

讨论当、 、等三种情况时，令，求解即得.

（1）当时， 1分

,函数在点处的切线方程为 3分

（2）函数在上是减函数

在上恒成立 4分

令，有得 6分

7分

（3）假设存在实数，使在上的最小值是3

8分

当时，，在上单调递减，

（舍去) 10分

当且时，即，在上恒成立，在上单调递减，（舍去) 11分

当且时，即时，令，得；，得

在上单调递减，在上单调递增

，满足条件 13分

综上所述，存在实数，使在上的最小值是. 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.