Question

如图1，在直角梯形中，，.把沿折起到的位置，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，如图2所示，点分别为棱的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）若，求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3）.

【解析】

试题分析：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上，

所以平面，；

由，知是中点，得到，；

同理；

根据，得到平面平面.

（2）根据，得到

再平面，平面，得到；

即可得到平面.

（3）由已知可得，

利用等边三角形得到高，即点到平面的距离为，根据是的中点，得到到平面的距离为应用体积公式计算.

试题解析：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上

所以平面，所以 1分

因为，

所以是中点， 2分

所以 ，

所以 3分

同理

又

所以平面平面 5分

（2）因为，

所以

又平面，平面

所以 7分

又

所以平面 8分

（3）因为，，所以，而点分别是的中点，所以， 10分

由题意可知为边长为5的等边三角形，所以高， 11分

即点到平面的距离为，又为的中点，所以到平面的距离为，故. 12分

考点：平行关系，垂直关系，几何体的体积.