Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，讨论的单调性.

Answer

（1）

（2）当时，在,单调递减，在,单调递增；

当时,在单调递减

当时，在单调递减，在单调递增；

【解析】

试题分析：（1）利用切点处的导函数值是切线的斜率，应用直线方程的点斜式即得；

（2）求导数，

根据的不同取值情况，研究导数值的正负，确定函数的单调性.

本题易错，分类讨论不全或重复.

试题解析：（1）当时，，

此时， 2分

，又，

所以切线方程为：，

整理得：； 分

（2）， 6分

当时，，此时，在,单调递减，

在,单调递增； 8分

当时，，

当即时在恒成立，

所以在单调递减； 10分

当时，，此时在,单调递减，在单调递增； 12分

综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；

当时， 在单调递减，在单调递增；

当时在单调递减. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，直线方程的点斜式.