Question

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线经过点，求

（为原点）面积的最大值.

Answer

（1）(2) 面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，再根据椭圆经过点，代入椭圆方程即可.

(2)设

当直线的斜率为时,可得，由，得到

；

当直线的斜率不为时，将的方程为与椭圆方程联立，

整理得，

由, 得到

应用韦达定理，，化简得到

代入，得到；

通过确定原点到直线的距离为，得到 求其最值.

试题解析：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴， ∴， 2分

又∵椭圆经过点，代入可得，

∴故所求椭圆方程为 4分

(2)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴，此时

所以，因为，所以

所以，当且仅当时，取得最大值为， 7分

当直线的斜率不为时，则设的方程为

所以，代入得到 8分

当, 即

方程有两个不同的解又， 10分

所以，又，化简得到

代入，得到 11分

又原点到直线的距离为

所以

考虑到且化简得到 13分

因为，所以当时，即时，取得最大值.

综上，面积的最大值为 14分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式.