Question

已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数．

(1)求函数的零点；

(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；

(3)已知k，mN*，k<m，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性．

Answer

（1）①当时，函数有一个零点：

②当时，函数有两个零点：

③当时，函数有两个零点：

④当时，函数有三个零点：

（2）的取值范围是

（3）函数在上是减函数.

【解析】

试题分析：（1）整理得，

故只需讨论的判别式取值情况，确定函数的零点.

（2）由于

所以重点讨论，的图像是开口向下的抛物线.

由题意对任意,即，讨论求解.

（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数.

试题解析：（1），

设,

①当时，函数有一个零点： 1分

②当时，函数有两个零点： 2分

③当时，函数有两个零点： 3分

④当时，函数有三个零点：

4分

（2） 5分

设，的图像是开口向下的抛物线.

由题意对任意有两个不等实数根，

且

则对任意,即, 7分

又任意关于递增,,

故

所以的取值范围是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数, 10分

从而即 11分

所以

由知 13分

即对任意

故函数在上是减函数. 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，函数零点.