Question

已知关于x的函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数没有零点，求实数a取值范围.

Answer

（1）函数的极小值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1），当 时，

可利用导函数的符号判断函数的单调性并求得极值；

（2）要使函数没有零点，可借助导数研究函数的单调性及极值，参数的值要确保在定义域内恒正（或恒负），即函数的最小值为正，或最大值为负，并由此求出的取值范围.

试题解析：

【解析】
（1），. 2分

当时，,的情况如下表：

2

0

↘

极小值

↗

所以，当时，函数的极小值为. 6分

（2）. 7分

当时，的情况如下表：

2

0

↘

极小值

↗

因为F(1)=1＞0, 8分

若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得, 9分

所以此时；10分

当时，的情况如下表：

2

0

↗

极大值

↘

因为,且，

所以此时函数总存在零点. 12分

（或：当时，

当时，令即

由于令

得，即时，即时存在零点.）

综上所述，所求实数a的取值范围是.13分

考点：1、导数的求法；2、利用导数研究函数的单调性与最值；3、分类讨论的思想.