Question

如图；已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆T的方程;

（3）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：为定值.

Answer

（1）（2）取得最小值为-，圆T的方程为：；

（3）

【解析】

试题分析：（1）椭圆C:的离心率为

由椭圆的左顶点为，所以可得椭圆的标准方程；

（2）点M与点N关于轴对称，设，

，再根据的取值范围求出的最小值，并由取得最小值的条件确定，进而确定圆的半径.

（3）设点,利用点分别是直线 与轴的交点，把 用表示,

而,结合点都在椭圆上,将表达式化简即可.

试题解析：

【解析】
（1）由题意知解之得；，由得b=1，

故椭圆C方程为;3分

（2）点M与点N关于轴对称，

设 不妨 设.

由于点M在椭圆C上，,

由已知,

,

阶段;

由于故当时，取得最小值为-,

当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；...8分

（3）设，则直线MP的方程为

令，得，同理, 故，10分

又点M与点P在椭圆上，故 ，

得，

为定值．.14分

考点：1、椭圆的标准方程；2、圆的标准方程序；3、向量的数量积；4直线的方程.