Question

已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围.

Answer

（1）的单调递增区间是，的单调递减区间是.

（2）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）首先确定函数的定义域.求导数：

，根据当时，为单调递增函数；

当时，为单调递减函数，得到函数的单调区间.

（2）构造函数，即，将问题转化成：在区间内，，利用导数求函数的极值、最小值，得到的取值范围是.

试题解析：（1）函数的定义域为，

2分

当，即时，为单调递增函数；

当，即时，为单调递减函数；

所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是 6分

（2）由不等式，得，令，

则 8分

由题意可转化为：在区间内，，

，令，得

0

+

递减

极小值

递增

由表可知：的极小值是且唯一，

所以。 10分

因此，所求的取值范围是. 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值、最值