Question

已知函数，，其中，为自然对数的底数．

（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）求在上的最小值；

（3）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）

（3）当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．

【解析】

试题分析：（1）切点处的导数值，即为切线的斜率，根据在处的切线与直线垂直，斜率乘积为，建立的方程；

（2）遵循求导数、求驻点、讨论区间单调性、确定极值（最值）；

（3）求的定义域为，及导数 ．

根据时，，知在上单调递减．

重点讨论的单调性．

注意到其驻点为，故应讨论：

①， ②的情况，作出判断．

综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数．

试题解析：（1），，

在处的切线与直线垂直，

3分

（2）的定义域为，且 ．

令，得． 4分

若，即时，，在上为增函数，；5分

若，即时，，在上为减函数，

； 6分

若，即时，

由于时，；时，，

所以

综上可知 8分

（3）的定义域为，且 ．

时，，在上单调递减． 9分

令，得

①若时，，在上，单调递增，由于在上单调递减，所以不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性； 10分

②若时，，在上，单调递减；

在上，单调递增．由于在上单调递减，存在区间，使得和在区间上均为减函数．

综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数． 13分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想．