Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，求的最大值．

Answer

（1）圆心的轨迹：；

（2）和的比值为一个常数，这个常数为；

（3）当时，取最大值．

【解析】

试题分析：（1）设圆心的坐标为，半径为 

利用已知条件，判断得到动圆与圆只能内切，

从而由，

判断得出圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，且，

求得圆心的轨迹：；

（2）设，研究直线，直线与椭圆联立的方程组，应用韦达定理，弦长公式，确定作出结论；

（3）注意到的面积的面积，

利用到直线的距离，将面积表示为 ，应用“换元”思想，

令，得到应用基本不等式得解．

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为 

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切                               2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹：                                             4分

（2）设，直线，则直线

由可得：，

                       6分

由可得：

                        8分

和的比值为一个常数，这个常数为                            9分

（3），的面积的面积到直线的距离

                     11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值                                        14分

考点：圆与圆的位置关系，椭圆的定义、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，基本不等式的应用．