Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

证明：（1）见解析；（2）二面角的平面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：证明：（1）注意做辅助线，连结和交于，连结，

根据为中点，为中点，得到

， 即证得平面；

（2）应用已知条件，研究得到，

平面，，创造建立空间直角坐标系的条件，通过

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

应用“向量法”解题；

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：证明：（1）连结和交于，连结， 1分

为正方形，为中点，为中点，

， 3分

平面，平面

平面． 4分

（2）平面，平面，，

为正方形，，

平面，

平面，

平面， 6分

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

则，，，

平面，平面，

，

为正方形，，

由为正方形可得：，

设平面的法向量为

，

由，令，则

8分

设平面的法向量为，

，

由 ，令，则，

10分

设二面角的平面角的大小为，则

二面角的平面角的余弦值为 12分

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.