Question

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

Answer

（1）圆心的轨迹：；

（2）和的比值为一个常数，这个常数为；

（3）当时，取最大值.

【解析】

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动

圆与圆只能内切

2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，

故圆心的轨迹： 4分

（2）设，直线，则直线

由可得：，

6分

由可得：

8分

和的比值为一个常数，这个常数为 9分

（3），的面积的面积，

到直线的距离

11分

令，则

（当且仅当，即，亦即时取等号）

当时，取最大值 13分

考点：圆与圆的位置关系，椭圆的定义、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，基本不等式的应用.