Question

已知函数，满足，且，为自然对数的底数．

（1）已知，求在处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围；

（3）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）应用导数的几何意义，求导数，求斜率，确定切线方程；

（2）由已知确定；

根据得：．

，只需．

应用导数，求函数，，的最大值即得解；

（3）设为在时的图象上的任意一点，可得，，．

由于，得到．

， 的情况，求得的取值范围.

方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：（1），

，

在处的切线方程为：，即 4分

（2），

，从而 5分

由得：．

由于时，，且等号不能同时成立，所以，．

从而，为满足题意，必须． 6分

设，，则．

，，

从而，在上为增函数，

所以，从而． 9分

（3）设为在时的图象上的任意一点，则

的中点在轴上，的坐标为，

，，所以，，．

由于，所以． 11分

当时，恒成立，； 12分

当时，，

令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，，

综上可知，的取值范围是． 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数研究不等式恒成立问题.