Question

如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，

且.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若是的中点，求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行、线面垂直以及三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，利用ABCD为直角梯形，所以得到AB//CD，利用线面平行的判定，得AB//平面PCD；第二问，在三角形ABC中，先利用余弦定理求出AC边长，再根据勾股定理判断，而，利用线面垂直的判定，平面PAC；第三问，由于平面ADC，所以M到平面ADC的距离为PA的一半，将转化为，作，在三角形ACB中，解出AE和CE的值，即AD和DC的值，即可得到直角三角形ADC的面积，从而利用三棱锥的体积公式计算体积.

试题解析：（1）底面是直角梯形，且,

， 1分

又平面 2分

平面 3分

∴∥平面 4分

（2）， ，

5分

则

∴ 6分

平面 ，平面

∴ 7分

又 8分

∴平面 9分

（3）在直角梯形中，过作于点，

则四边形为矩形， 10分

在中可得

故 11分

∵是中点，

∴到面的距离是到面距离的一半 12分

∴ 14分

考点：线面平行、线面垂直以及三棱锥的体积.