Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的极值；

（3）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的极值与最值等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，将代入，先得到的解析式，对求导，将代入中，得到切线的斜率，将代入到中得到切点的纵坐标，最后利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，在定义域内，利用为单调递增函数，为单调递减函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性判断函数的极值点位置；第三问，结合第二问的结论，讨论与的大小，分和两种情况，通过判断的单调性最值，画出的简图，看与是否有公共点，从而求出a的取值范围.

试题解析：（1），且．

又，．

在点处的切线方程为：，

即．4分

（2）的定义域为，，令得．

当时，，是增函数；

当时，，是减函数；

在处取得极大值，即．8分

（3）（i）当，即时，

由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，

当时，取得最大值，即．

又当时，，

当时，，当时，，

所以，的图像与的图像在上有公共点，

等价于，解得，又因为，所以．

（ii）当，即时，在上是增函数，

在上的最大值为，

原问题等价于，解得，又无解

综上，的取值范围是．14分

考点：1.导数的运算；2.利用导数求曲线的切线；3.利用导数求函数的极值与最值.