Question

如图，已知平面，，，

且是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求此多面体的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面 得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.

（1）取中点，连结、，为的中点， ，且，

又，且 ，且，

为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

（2），，所以为正三角形，，

平面，，平面，又平面，

，又，，

平面，又，平面，

又平面，平面平面；

（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，

，平面平面，

等边三角形边上的高就是四棱锥的高，

.

考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算