Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对，有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）极大值，极小值；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数结合表格求出函数的极大值与极小值；（2）对的符号进行分三类讨论①；②；③，主要是取绝对值符号，结合基本不等式求出参数的取值范围，最后再相应地取在三种情况下对应取值范围的交集.

（1）当时，，

，

令，解得，，

当时，得或；

当时，得，

当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

当时，函数有极大值，，

当时函数有极小值，；

（2）， 对，成立，

即对成立；

①当时，有，

即，对恒成立，

，当且仅当时等号成立，

；

②当时，有，

即，对恒成立，

，当且仅当时等号成立，

，

③当时，

综上得实数的取值范围为.

考点：1.函数的极值与导数；2.函数不等式恒成立；3.基本不等式；4.参变量分离法