Question

如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的

左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值.

Answer

（1）；（2）的最小值为，此时圆的方程为；

（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用圆的方程的求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、的关系求出，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点、的对称性，设点，将表示为的二次函数，结合的取值范围，利用二次函数求出的最小值，从而确定点的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点，求出、的方程，从而求出点、的坐标，最后利用点在椭圆上来证明为定值.

（1）依题意，得，，，，

故椭圆的方程为；

（2）点与点关于轴对称，设、， 不妨设，

由于点在椭圆上，所以， （*）

由已知，则，，

，

，

由于，故当时，取得最小值为，

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到，

故圆的方程为：；

（3）设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，

故 （**）

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：

所以为定值.

考点：1.椭圆的方程；2.平面向量的数量积；3.直线与椭圆的位置关系