Question

设数满足：.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先令求出的值，然后令，由得到

，将两式相减得到，利用定义法证明数列是

等比数列；（2）在（1）的基础上求出数列的通项公式，进而确定数列的通项公式，将不等式

转化为，利用作差法研究数列的单调性，确定数列的最大项的值，

从而解出相应的不等式即可.

（1）当时，则有，解得，

当且时，，

，

上式下式，得，所以，

故，且

因此数列是首项为，公比为的等比数列，

因此；

（2），对任意的正整数恒成立，则，

，

当且时，，即，因此，

当时，则，则有，

当且时，，即，则数列从第四项开始单调递减，

因此，或最大，，

所以，即，解得或，

因此实数的取值范围是.

考点：1.定义法求数列通项；2.等比数列的定义；3.数列的单调性；4.不等式恒成立