Question

已知定点、，动点，且满足、、

成等差数列.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若曲线的方程为，过点的直线与曲线相切，

求直线被曲线截得的线段长的最小值.

Answer

（1）：（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用题中的条件得到椭圆的定义，求出椭圆的实轴长与焦距，然后利用、、之间的关

系求出的值，从而确定点的轨迹的方程；（2）先设直线的方程为，利用直线与圆

相切，结合确定和之间的等量关系，然后联立直线与椭圆的方程，求出交点的坐标，利用两点

间的距离公式求出弦长的表达式，利用换元法将弦长表达式进行化简，并利用函数单调性求出弦长的最小

值.

（1）由、， ，

根据椭圆定义知的轨迹为以、为焦点的椭圆，

其长轴，焦距，短半轴，故的方程为.

（2）过点与轴垂直的直线不与圆相切，故可设:，

由直线与曲线相切得，化简得，，

由，解得，

联立，消去整理得，

直线被曲线截得的线段一端点为，设另一端点为，

解方程可得，

有，

令，则，，

考查函数的性质知在区间上是增函数，

所以时，取最大值，从而.

考点：1.椭圆的定义与方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系；4.两点间的距离