Question

已知函数满足如下条件：当时，，且对任

意，都有.

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求当，时，函数的解析式；

（3）是否存在，、、、、，使得等式

成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出与的值，利用点斜式求出相应的切线方程；（2）利用题中的条件结合迭

代法求出函数在区间上的解析式；（3）构造新函数，考

查函数在区间上的单调性，求出函数在区间上

的最小值，于是得到，然后利用分组求和法与错位相减法来证明

题中相应的等式.

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，即；

（2）因为，

所以，当，时，，

；

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，.

所以，，

而，

令，则，

两式相减得，

，

所以，，

故，

所以，，

当且仅当，、、、、时，

，

所以，存在唯一一组实数，、、、、，

使得等式成立.

考点：1.导数的几何意义；2.函数的解析式；3.分组求和法与错位相减法