Question

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求五面体的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接交于点，取的中点，连接、，先证明，再利用中位线证明，利用传递性证明，进而证明四边形为平行四边形，进而得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是取的中点，先证明四边形为平行四边形得到，然后通过勾股定理证明从而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法二是连接交于点，先利用勾股定理证明，利用得到，再利用等腰三角形中三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，进而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）将五面体分割为四棱锥与三棱锥，利用（2）中的结论平面得到平面从而计算三棱锥的体积，利用结论平面以及得到平面以此计算四棱锥的体积，最终将两个锥体的体积相加得到五面体的体积.

试题解析：（1）连接，与相交于点，则是的中点，连接、，

是的中点，

，，

平面，平面，平面平面，，

，，，四边形为平行四边形，

，，

平面，平面，平面；

（2）证法1：取的中点，连接，则，

由（1）知，，且，四边形为平行四边形，

，，

在中，，又，得，，

在中，，，，

，，，即，

四边形是正方形，，

，平面，平面，平面；

证法2：在中，为的中点，.

在中，，，

，，

，，

，平面，平面，，平面，

平面，.

四边形是正方形，.

平面，平面，，平面.

（3）连接，

在中，，.

由（2）知平面，且，平面.

平面，，平面.

四棱锥的体积为.

三棱锥的体积为.

五面体的体积为.

考点：1.直线与平面平行；2直线与平面垂直；3.分割法求多面体的体积