Question

已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.

（1）求、的值；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和

视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.

试题解析：（1）解法1：当时，，

当时，

.

是等差数列，

，得.

又，，，

、、成等比数列，

，即，解得.

解法2：设等差数列的公差为，

则.

，

，，.，，.

、、成等比数列，，

即，解得.

；

（2）解法1：由（1）得.

，.

，①

，②

①②得.

.

解法2：由（1）得.

，.

，①

由，

两边对取导数得，.

令，得.

.

考点：1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导