Question

已知函数，.

（1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；

（2）当时，函数在区间上存在极值，求的最大值.

（参考数值:自然对数的底数≈）.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解法1是将函数在其定义域上为增函数等价转化为不等式在区间上恒成立，利用参数分离法得到不等式在上恒成立，并利用基本不等式求出的最小值，从而求出的取值范围；解法2是求得导数，将问题等价转化为不等式在上恒成立，结合二次函数零点分布的知识求出的取值范围；（2）先将代入函数的解析式并求出的导数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理找出函数的极值点所存在的区间，结合条件确定的最大值.

试题解析：（1）解法1：函数的定义域为，

，.

函数在上单调递增，

，即对都成立.

对都成立.

当时，，当且仅当,即时，取等号.

，即，的取值范围为.

解法2：函数的定义域为，

，.

方程的判别式.

①当，即时，，

此时，对都成立,

故函数在定义域上是增函数.

②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，

只需对都成立.

设,则，得.

故.

综合①②得的取值范围为；

（2）当时，.

.

函数在上存在极值，

∴方程在上有解,

即方程在上有解.

令，由于，则，

函数在上单调递减.

，

，

函数的零点.

方程在上有解，，.

，的最大值为.

考点：1.函数的单调性与导数；2.参数分离法；3.二次函数的零点分布；4.基本不等式；5.零点存在定理