Question

已知点在抛物线上，直线（，且）与抛物线，相交于、两点，直线、分别交直线于点、.

（1）求的值；

（2）若，求直线的方程；

（3）试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

Answer

（1）；（2）或；（3）存在，且两个定点坐标为和.

【解析】

试题分析：（1）将点代入抛物线的方程即可求出的值；（2）解法1是先设点、的坐标分别为、，将直线的方程与抛物线的方程联立求出、的坐标，并求出、的直线方程，与直线的方程联立求出、的坐标，利用两点间的距离公式列等式求出的值，从而求出直线的方程；解法2是设直线的方程为，点的坐标为，分别将直线的方程与抛物线和直线的方程求出点、的坐标，然后设直线的方程为，利用同样的方法求出点、的坐标，利用点、都在直线上，结合两点连线的斜率等于值以及点在直线得到、与之间的等量关系，然后再利用两点间的距离公式列等式求出的值，从而求出直线的方程；（3）解法1是求出线段的中点的坐标，然后写出以为直径的圆的方程，结合韦达定理进行化简，根据方程的结构特点求出定点的坐标；解法2是设为以为直径的圆上的一点，由得到以为直径的圆的方程，然后圆的方程的结构特点求出定点的坐标.

试题解析：（1）点在抛物线上，.

第（2）、（3）问提供以下两种解法：

解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设点、的坐标分别为、，依题意，，，

由消去得，

解得.

，，

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

.

，.

由，得，

解得,或，

直线的方程为，或.

（3）设线段的中点坐标为，

则

.

而，

以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、.

解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设直线的方程为，点的坐标为，

由解得

点的坐标为.

由，消去，得，

即，解得或.

，.

点的坐标为.

同理，设直线的方程为，

则点的坐标为，点的坐标为.

点、在直线上，

.

. 5分

又，得，

化简得.

，

，.

.

由，

得，

解得.

直线的方程为，或.

（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，

则，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、.

考点：1.抛物线的方程；2.直线与抛物线的位置关系；3.两点间的距离；4.韦达定理