Question

已知数列的前项和为，且，对任意，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）解法1是在的条件下，由得到，将两式相减得，经化简得，从而得出数列为等差数列，然后利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式；解法2是利用代入递推式得到，经过化简得到，在两边同时除以得到，从而得到数列为等差数列，先求出数列的通项公式，进而求出的表达式，然后利用与之间的关系求出数列的通项公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.

试题解析：（1）解法1：当时，，，

两式相减得，

即，得.当时，，即.

数列是以为首项，公差为的等差数列..

解法2：由，得，

整理得，，两边同除以得，.

数列是以为首项，公差为的等差数列...

当时，.

又适合上式，数列的通项公式为；

（2）解法1：由（1）得.

，.

，①

，②

①②得.

.

解法2：由（1）得.，.

，①

由，

两边对取导数得，.

令，得.

.

考点：1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导