Question

已知定点和直线，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点的坐标为，直线（，且）与抛物线，相交于、两点，直线、分别交直线于点、试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且两个定点坐标为和.

【解析】

试题分析：（1）解法1是根据题干条件确定曲线是以点为焦点、以直线为准线的抛物线，从而写出抛物线的方程；解法2是利用直接法求动点的轨迹方程，即设点的坐标为，将条件转化为点到点的距离等于点到直线的距离相等列等式，化简后即得到曲线的方程；（2）解法1是先设点、的坐标分别为、，将直线的方程与抛物线的方程联立求出、的坐标，并求出、的直线方程，与直线的方程联立求出、的坐标，利用两点间的距离公式求出，然后求出线段的中点的坐标，然后写出以为直径的圆的方程，结合韦达定理进行化简，根据方程的结构特点求出定点的坐标；解法2是设直线的方程为，点的坐标为，分别将直线的方程与抛物线和直线的方程求出点、的坐标，然后设直线的方程为，利用同样的方法求出点、的坐标，利用点、都在直线上，结合两点连线的斜率等于值以及点在直线得到、与之间的等量关系（韦达定理），然后设为以为直径的圆上的一点，由得到以为直径的圆的方程，然后圆的方程的结构特点求出定点的坐标.

试题解析：（1）解法1：由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，

故点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线.

曲线的方程为；

解法2：设点的坐标为，依题意，得，即，

化简得.曲线的方程为；

解法1：（2）设点、的坐标分别为、，依题意，，，

由消去得，解得.

，，

直线的斜率，故直线的方程为.

令，得，点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

.

，

设线段的中点坐标为，则.

以线段为直径的圆的方程为.

展开得.令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、；

解法2：由（1）得抛物线的方程为.

设直线的方程为，点的坐标为，

由，解得，点的坐标为.

由，消去，得，

即，解得或.

，.

点的坐标为.

同理，设直线的方程为，

则点的坐标为，点的坐标为.

点、在直线上，

.

.

又，得，

化简得.

设点是以线段为直径的圆上任意一点，则，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

以线段为直径的圆恒过两个定点、.

考点：1.抛物线的定义与方程；2.动点的轨迹方程；3.距离公式；4.直线与抛物线的位置关系；5.韦达定理