Question

如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面;

（2）求证：;

（3）求点到平面的距离.

Answer

（1）见解析（2）见解析(3)

【解析】

试题分析：

(1)要证明线面平行,取中点，连结,其中线段BN在面BEC中,根据线面平行的判断,只需要证明线段BN与AM平行即可,根据MN为所在线段的中点,利用中位线定理即可得到MN平行且等于DC的一半,题目已知AB平行且等于DC的一半,则可以得到MN与AB平行且相等,即四边形ABMN为平行四边形,而AM与BN为该平行四边形的两条对边,则AM与BN平行,即得到线段AM平行于面BEC.

(2)题目已知面ABCD与ADEF垂直且ED垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可得线段ED垂直于面ABCD,再根据线面垂直的性质可得到BC垂直于ED,根据梯形ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到BC与BD垂直,即线段BC与面BED中两条相交的线段ED,BD相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段BC垂直于面BED

(3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥体积的等体积法,即分别以D点和E点作为顶点求解三棱锥D-BEC的体积,当以E作为顶点时,DE为高,三角形BCD为底面,求出高和底面积得到三棱锥的体积,当D为顶点,此时,高为D到面BEC的距离,而三角形BEC为底面,利用三角形的勾股定理得到BE的长度,求出三角形BEC的面积,利用三棱锥的体积公式即可得到D到面BEC的距离.

试题解析：

（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且． 3分

所以四边形为平行四边形．

所以∥． 4分

又因为平面，且平面，

所以∥平面． 5分

（2）在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．

所以． 7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．

所以． 8分

所以平面． 10分

（3）解法一：因为平面，所以平面平面． 11分

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度 12分

在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于. 14分

解法二：平面,所以

所以

12分

又，设点到平面的距离为

则，所以

所以点到平面的距离等于. 14分

考点：勾股定理线面平行,线面垂直等体积法