Question

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

Answer

(1)(2)相切

【解析】

试题分析：

(1)根据椭圆的标准方程可以判断椭圆的焦点在x轴上,而x轴上顶点的坐标已知,即可得到a的值,再根据离心率的计算公式即可求的c的值,再利用a,b,c之间的关系即可求的的值,得到椭圆的标准方程.

(2)设出C点坐标,点R在直线x=2上,即点R的横坐标已知,再利用A,C,R三点哎同一直线上,即向量共线,把A,C的坐标带入即可得到R点的坐标,D为RB的中点,利用中点坐标公式即可得到D点的坐标,CD两点坐标已知,利用直线的两点式即可求的直线CD的方程,利用C点满足圆E的方程,计算圆心到直线CD的距离,可得到圆心到直线CD的距离等于圆E的半径,即直线DC与圆E相切.

试题解析：

（1）由题意可得，，∴ 2分

∴， 3分

所以椭圆的方程为． 4分

（2）曲线是以为圆心，半径为2的圆。

设，点的坐标为， 5分

∵三点共线，∴， 6分

而，，则，

∴， 8分

∴点的坐标为，点的坐标为， 10分

∴直线的斜率为，

而，∴，

∴， 12分

∴直线的方程为，化简得，

∴圆心到直线的距离， 13分

所以直线与曲线相切． 14分

考点：椭圆离心率圆与直线的位置关系