Question

已知函数

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

(1)(2)详见解析(3)

【解析】

试题分析：

(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.

(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.

(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.

试题解析：

(1)由已知， 1分

，所以斜率， 2分

又切点，所以切线方程为)，即

故曲线在处切线的切线方程为。 3分

(2) 4分

①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为.

5分

②当时，由，得. 6分

在区间上，，在区间上，，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 7分

（3）由已知，转化为. 8分

，所以 9分

由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 10分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，， 12分

所以，解得. 14分

考点：恒成立问题存在性问题导数切线