Question

已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）当时，若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，在（1）的条件下，证明当时，对任意两个不相等的正数、，有.

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导，利用题中条件得到，从而求出实数的值；（2）解法一是构造新函数，问题转化为来处理，求出导数的根，对与区间的相对位置进行分类讨论，以确定函数的单调性与最值，从而解决题中的问题；解法二是利用参数分离法将问题转化为，从而将问题转化为来处理，而将视为点与点连线的斜率，然后利用图象确定斜率的最小值，从而求解相应问题；（3）证法一是利用基本不等式证明和，再将三个同向不等式相加即可得到问题的证明；证法二是利用作差法结合基本不等式得到进而得到问题的证明.

试题解析：（1），由曲线在点处的切线平行于轴得

，；

（2）解法一：当时，，函数在上是增函数，有，------6分

当时，函数在上递增，在上递减，

对，恒成立，只需，即；

当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，

而，不合题意，

综上得对，恒成立，；

解法二：由且可得，

由于表示两点、的连线斜率，

由图象可知在单调递减，

故当，，

，即；

（3）证法一：由，

得

，

，

由得，①

又，

，②

，，

，，③

由①、②、③得

；

即；

证法二：由

、是两个不相等的正数，

，，

，又，，

，即

考点：1.导数的几何意义；2.参数分离法；3.不等式的证明；4.基本不等式