Question

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）设点是上任一点，试求的最小值；

（2）求证：、在以为直径的圆上；

（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（2）证平面，从而得到，同理得到，进而证明、在以为直径的圆上；（3）方法一是建立以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；方法二是延长与使得它们相交，找出二面角的棱，然后利用三垂线法找出平面与平面所成的锐二面角的平面角，利用直角三角函数来求相应角的余弦值.

试题解析：（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，

设，则，

在中，，，

在三角形中，有余弦定理得：

，

，

（2）底面，，又

平面，又平面，，

又，平面，

又平面，，

同理，、在以为直径的圆上；

（3）方法一：如图，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系如下图示，则，，由（1）可得，，平面，

为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

方法二： 由可知，故，

又面，

面，面，

设平面平面，平面，，

，，

又，平面，又平面，

，，

为平面与平面所成的锐二面角的一个平面角，

，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

考点：1.空间几何体侧面展开图的应用；2.余弦定理；3.直线与平面垂直；4.空间向量法求二面角；5.三垂线法求二面角