Question

如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；

（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值.

Answer

（1）；（2）存在，且有两个；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据题中条件得到值，然后根据题中的几何条件得出点的坐标，代入椭圆方程求出值，从而确定椭圆的方程；（2）解法一是设点的坐标，利用两点间的距离公式将等式转化为点的坐标所满足的直线方程，注意到直线过椭圆内一定点，从而确定满足条件的点的个数；解法二是也是设点的坐标，利用两点间的距离公式将等式转化为点的坐标所满足的直线方程，再将直线方程与椭圆方程联立，利用的正负确定所满足条件的点的个数；（3）设点的坐标，先根据题中条件结合圆的几何性质得到，，从而得出、、、四点共圆，并写出圆（以的长为半径的圆）的方程，通过将点、的坐标代入圆的方程，将两个等式相减的办法得到直线的方程，进而求出、（由点的坐标表示），并将点的坐标由、表示，再将点的坐标代入椭圆的方程化简即可证明相关问题；解法二是设、、三点的坐标，利用圆的几何性质得到，先利用点斜式写出直线的方程，同时写出直线的方程，再将点代入上述两直线的方程，通过比较得出直线的方程，进而求出、（由点的坐标表示），并将点的坐标由、表示，再将点的坐标代入椭圆的方程化简即可证明相关问题.

试题解析：（1）依题意知：椭圆的长半轴长，则，

设椭圆的方程为，

由椭圆的对称性知 又，，

，，为等腰直角三角形，

点的坐标为，点的坐标为，

将的坐标代入椭圆方程得，

所求的椭圆的方程为；

（2）解法一：设在椭圆上存在点，使得，设，则

，

即点在直线上，

点即直线与椭圆的交点，

直线过点，而点椭圆在椭圆的内部，

满足条件的点存在，且有两个；

解法二：设在椭圆上存在点，使得，设，则

，

即，①

又点在椭圆上，，②

由①式得代入②式并整理得：，③

方程③的根判别式，

方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点存在，且有两个；

（3）解法一：设点，由、是圆的切点知，，，

、、、四点在同一圆上，

且圆的直径为，则圆心为，

其方程为，

即，④

即点、满足方程④，又点、都在圆上，

、坐标也满足圆的方程，⑤

⑤④得直线的方程为，

令，得，令得，

，，又点在椭圆上，

，即（定值）；

解法二：设点、、，则，

直线的方程为，化简得，④

同理可得直线的方程为，⑤把点的坐标代入④、⑤得，

直线的方程为，

令，得，令得，

，，又点在椭圆上，

，即（定值）.

考点：1.椭圆的方程；2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系；3.直线的方程