Question

已知函数.

（1）当且时，证明：；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数的解析式，构造新函数，问题转化为证明，只需利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来证明该不等式；（2）解法一是利用参数分离法将不等式转化为在上恒成立，构造新函数，问题转化为

来处理；解法二是构造新函数，问题转化为来处理，求出导数的根，对与区间的相对位置进行分类讨论，以确定函数的单调性与最值，从而解决题中的问题；解法三是利用参数分离法将问题转化为，从而将问题转化为来处理，而将视为点与点连线的斜率，然后利用图象确定斜率的最小值，从而求解相应问题；（3）利用分析法将问题等价转化为证明不等式，结合（1）中的结论

结合放缩法证明，最后利用累加法证明相关不等式证明.

试题解析：（1）证明：要证，即证，

令，则，

在单调递增，，

，即成立；

（2）解法一：由且可得，

令，，

由（1）知，

，函数在上单调递增，当时，，

；

解法二：令，则，

当时，，函数在上是增函数，有，------6分

当时，函数在上递增，在上递减，

对，恒成立，只需，即；

当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，

而，不合题意，

综上得对，恒成立，；

解法三：由且可得，

由于表示两点、的连线斜率，

由图象可知在单调递减，

故当，，

，即；

（3）当时，，则，

要证，即证，

由（1）可知，又

，，

，

，

故.

考点：1.利用导数证明函数不等式；2.参数分离法；3.直线的斜率；4.放缩法