Question

已知函数.

（1）若当时，函数的最大值为，求的值；

（2）设（为函数的导函数），若函数在上是单调函数，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出导数方程的根，并以是否在区间内进行分类讨论，确定函数单调性，从而确定函数在区间上的最大值，从而求出实数的值；（2）解法一是分两种情况讨论，一种是函数是增函数，二是函数是减函数，从而得到或在上恒成立，最终转化为或来处理，从而求出实数的取值范围；解法二是分两种情况讨论，一种是函数是增函数，二是函数是减函数，从而得到或在上恒成立，利用，对二次函数的首项系数与的符号进行分类讨论，从而求出实数的取值范围.

（1）由，

可得函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，取最大值，

①当，即时，函数在上单调递减，

，解得；

②当，即时，，

解得，与矛盾，不合舍去；

③当，即时，函数在上单调递增，

，解得，与矛盾，不合舍去；

综上得；

（2）解法一：，

，

显然，对于，不可能恒成立，

函数在上不是单调递增函数，

若函数在上是单调递减函数，则对于恒成立，

，解得，

综上得若函数在上是单调函数，则；

解法二：，

，

令，（）

方程（）的根判别式，

当，即时，在上恒有，

即当时，函数在上是单调递减；

当，即时，方程（）有两个不相等的实数根：

，，

，

当时，，当或时，，

即函数在单调递增，在或上单调递减，

函数在上不单调，

综上得若函数在上是单调函数，则.

考点：1.函数的最值与导数；2.函数的单调性与导数；3.分类讨论