Question

已知等比数列满足：，公比，数列的前项和为，且.

（1）求数列和数列的通项和；

（2）设，证明：.

Answer

（1），；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，然后先令求出的值，然后在的前提下，由得到，解法一是利用构造法得到

，构造数列为等比数列，求出该数列的通项公式，从而得出的通项公式；解法二是在的基础上得到，两边同除以得到， 利用累加法得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式；（2）先求出的以及的表达式从而利用裂项法求出数列的前项和，进而证明相应的不等式.

（1）解法一：由，得，，

由上式结合得，

则当时，，

，

，

，，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，；

解法二：由，得，，

由上式结合得，

则当时，，

，

，

，

，，

；

（2）由得，

，

.

考点：1.等比数列的通项公式；2.构造法求数列通项；3.裂项求和法