Question

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点关于直线的对称点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，点是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，求的最小值及此时点的坐标；

（3）设点、是抛物线上的动点，点是抛物线与轴正半轴交点，是以为直角顶点的直角三角形．试探究直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）求出点关于直线的对称点的坐标，然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出的值，从而确定抛物线的方程；（2）结合图象与抛物线的定义确定点、、三点共线求出的最小值，并确定的直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出点的坐标；（3）上点，，利用得到得到与之间的关系，从而确定直线的方程，结合与之间的关系，从而确定直线所过的定点.

（1）设点关于直线的对称点为坐标为，

则解得，

把点代入，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为，

抛物线的准线为，

过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知,

，当且仅当、、三点共线时“”成立，

即当点为过点所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

，这时点的坐标为；

（3）所在的直线经过定点，该定点坐标为，

令，可得点的坐标为，

设,，显然，

则，，，

，，即，

直线的方程为，

即，

所以直线经过定点.

考点：1.抛物线的定义与方程；2.直线与抛物线的位置关系