Question

已知函数，（为常数）．

（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若，，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数、，都有

成立，求的取值范围.

Answer

（1）或；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数求出函数在点的切线方程，并将切线方程与函数的方程联立，利用求出的值；（2）将题中问题转化为从而确定最大整数的值；（3）假设，考查函数和的单调性，从而将，得到，于是得到，然后构造函数

，转化为函数在区间为单调递增函数，于是得到在区间上恒成立，利用参变量分离法求出的取值范围.

（1），，，

函数的图象在点处的切线方程为，

直线与函数的图象相切，由，消去得，

则，解得或；

（2）当时，，

，

当时，，在上单调递减，

，，

则，

，故满足条件的最大整数；

（3）不妨设，函数在区间上是增函数，，

函数图象的对称轴为，且，函数在区间上是减函数，

，

等价于，

即，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

，又，.

考点：1.导数的几何意义；2.构造函数法；3.参变量分离法