Question

如图，在直角梯形ABEF中，，，讲DCEF沿CD折起，使得，得到一个几何体，

（1）求证：平面ADF；

（2）求证：AF平面ABCD；

（3）求三棱锥E-BCD的体积.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：

（1）要证明平面ADF，可以通过BCE面与ADF面平行来得到线面平行，在折叠过程中，会保持BC//AD,CE//DF，故两平面内两条相交的直线相互平行，故可以证明BCE面与ADF面平行来得到线面平行

（2）要证明AF垂直于ABCD面，只需要证明AF与ABCD面内两条相交的直线AD与DC垂直即可，利用三角形ADF的正弦定理，可以求出AF长度，加以勾股定理就可以证明AF与AD垂直，DC垂直于DF和AD，所以DC垂直于面AFD，进而也是垂直于AF的.

（3）求三棱锥E-BCD的体积，由（1）（2）可以知道面BCE与面ADF平行且DC垂直于面ADF,进而有DC垂直于面BCE，所以求三棱锥的体积可以以三角形BCE底面，DC为高，则高长度已知，底面三角形面积可以利用EC,BC及其两边夹角的正弦值来求的.

试题解析：

（1）由已知条件可知，折叠之后平行关系不变,又因为平面，

平面，所以//平面；

同理//平面. 2分

又平面，

平面//平面.

又平面,

∴//平面. 4分

（2）由于

，即

. 6分

平面,

平面. 8分

（3）法一：平面，

. 10分

又,.

12分

14分

法二：取中点，连接.

由（2）易知⊥平面,又平面//平面,

⊥平面. 10分

又,.

，, 12分

.

. 14分

考点：线面平行面面平行线面垂直三棱锥体积