Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：

（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.

试题解析：

（1）设椭圆的方程为. 1分

由题意有：， 3分

解得. 5分

故椭圆的方程为. 6分

（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分

因为，所以

10分

因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，

取得最小值．而，

故有，解得． 12分

又点在椭圆的长轴上，即． 13分

故实数的取值范围是． 14分

考点：椭圆标准方程椭圆几何性质最值