Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a_n+1=2S_n+2()

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，

①在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；

②求证：.

Answer

（1） （2）见解析

【解析】

试题分析：

（1）利用Sn与an之间的关系,即可得到关于an+1,an的递推式，证明an为等比数列，且可以知道公比，当n=1时，可以得到a1与a2之间的关系，在根据an等比数列，可以消掉a2得到首项的值，进而得到通项公式.

（2）根据等差数列公差与项之间的关系(),可以得到，带入an得到dn的通项公式.

①假设存在，dm，dk，dp成等比数列，可以得到关于他们的等比中项式子，把dn的通项公式带入计算可以得到，则m,k,p既成等差数列也是等比数列，所以三者相等，与数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.

②利用(2)所得求出的通项公式，再利用错位相减可以求得,利用不等式的性质即可得到证明原式.

试题解析：

（1）由,

可得：,

两式相减：. 2分

又,

因为数列是等比数列，所以，故.

所以. 4分

（2）由（1）可知，

因为：，故：. 6分

①假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

则：，即：,

（*） 8分

因为成等差数列，所以,

（*）可以化简为，故，这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列. 10分

②令，

,

11分

两式相减：

13分

. 14分

考点：等比数列错位相减法不等式等差等比中项