Question

已知函数f(x)=-x³+ax²-4()，是f(x)的导函数.

（1）当a=2时，对任意的求的最小值；

（2）若存在使f(x₀)>0，求a的取值范围.

Answer

（1）-11（2）

【解析】

试题分析：

（1）把a=2带入f(x),对f(x)求导得单调性，得极值与[-1,1]区间端点对应的函数值进行比较得到最小值，对f(x)求导得到导函数,导函数为二次函数可以对称轴图像得到导函数在区间[-1,1]上的最小值，函数f(x)与f(x)的导函数最小值之和即为的最小值.

（2）该问题为固定区间上的恒成立问题，只需要函数f(x)在区间最小值大于0.关于函数f(x)的最值可以通过求导求单调性来得到在该区间上的最值，由于导函数是含参数的二次函数，故讨论需遵循开口，有无根，根的大小等步骤进行分类讨论确定原函数的单调性，得到最小值，进而得到a的取值范围.

试题解析：

（1）由题意知

令 2分

当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：

x

-1

（-1，0）

0

（0，1）

1

-7

-

0

+

1

-1

↓

-4

↑

-3

的最小值为 4分

的对称轴为，且抛物线开口向下,

的最小值为 5分

的最小值为-11. 6分

（2）.

①若,上单调递减，

又

9分

②若当

从而上单调递增，在上单调递减，

. 12分

根据题意，

综上，的取值范围是 14分

(或由,用两种方法可解)

考点：导函数最值恒成立问题不等式