Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，平面PAB,,.M为PB的中点.

（1）求证：PD//平面AMC；

（2）求锐二面角B-AC-M的余弦值.

Answer

(1)证明过程详见解析;（2）.

【解析】

试题分析：

（1）连接，设与相交于点，连接，要证明线面平行，只需要在面AMC中找到一条直线OM与PD平行即可，该问考虑构造三角形的中位线来证明，来证明线面平行，即OM为三角形PBD是边PD的中位线，线线平行就可以得到线面平行.

（2）求二面角的关键是找到二面角的平面角，根据角BPA为30度且AB为PB的一半利用三角形正弦定理即可证明三角形ABP是以角PAB为直角的直角三角形，即可以得到PA与AB垂直，由BC与面PAB垂直可以得到BC与PA垂直，进而有PA垂直于面ABCD中的两条相交的线段，则有PA垂直与底面ABCD.为作出得到二面角的平面角，作，垂足为，连接，，则有MF为三角形PAB的中位线，得到MF也垂直于底面，即PA与AC垂直，又AC与GF垂直，则有角MGF就是所求二面角的平面角，利用中位线求出MF，利用勾股定理求出GF长度，得到二面角的平面角MGF的三角函数值，就得到求出二面角的角度.

试题解析：

（1）证明：连接，设与相交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，∴点为的中点． 2分

∵为的中点，∴为的中位线，

∴. 4分

∵，

∴． 6分

（2）不妨设则.

在中,,

得,

即,且. 8分

∵平面，平面,故，

且,∴.

取的中点，连接，则，且． 10分

∴．平面,.

作，垂足为，连接，，

∴，∴．

∴为二面角的平面角． 12分

在中,,得.

在中，.

∴二面角的余弦值为． 14分

考点：线面平行二面角相似三角形