Question

如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，又椭圆上的任一点到椭圆的两焦点的距离之和为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、两点作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题干条件求出、的值，进而求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）设点的坐标为，并设椭圆上任意一点的坐标为，求出，根据题中条件得到点的坐标使得取得最小值，从而得出，最后再求出面积的表达式，结合二次函数或基本不等式求出的最大值.

试题解析：（1）设所求椭圆的标准方程为，

由题意得，解的，，，

所求椭圆的标准方程为；

（2）由椭圆的对称性，可设，又设是椭圆上任意一点，则

，，

所以当时，取最小值，

又由题意得：是椭圆上任意一点到的距离最小的点，

设，因此当时，取最小值，

又因，所以，

由对称性知，故，所以

S，

所以当时，的面积取得最大值.

考点：1.椭圆的方程；2.圆与椭圆的位置关系；3.二次函数