Question

如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.

Answer

（1）；当直线的方程为时，的面积取最大值.

【解析】

试题分析：（1）首先根据题中条件求出和的值，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线的方程为，先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系（勾股定理）求出直线截圆所得的弦长

，然后根据直线与两者所满足的垂直关系设直线，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线截椭圆的弦长，然后求出的面积的表达式，并利用基本不等式求出的面积的最大值，并求出此时直线的方程.

试题解析：（1）由题意得，

椭圆的方程为；

（2）设、、，

由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，

故点到直线的距离为，又圆，

，

又，直线的方程为，

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

，

设的面积为，则

，

，

当且仅当，即时上式取等号，

当时，的面积取得最大值，

此时直线的方程为

考点：1.椭圆的方程；2.直线与圆、椭圆的位置关系；3.基本不等式