Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，.

（1）若是线段的中点，求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，利用平行线的传递性结合得到，再利用点为的中点得到，从而证明四边形为平行四边形，从而得到，最终结合直线与平面的判定定理证明平面；（2）建立以点为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来求二面角的余弦值.

试题解析：（1），，，，

，，

由于，因此连接，由于，，

在平行四边形中，是线段的中点，则，且，

因此，且，所以四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

（2），，

又平面，、、两两垂直。

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

故，，又，，.

设平面的法向量，

则，，取，得，所以，

设平面的法向量，则

，∴，取，得，所以，

所以

故二面角的余弦值为.

考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角