Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：对任意的，存在唯一的，使；

（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有.

Answer

（1）减区间是，增区间是；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先确定函数的定义域，然后利用导数求出函数的单调区间；（2）构造函数

，利用函数的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到

，利用换元法令得到，于是将问题转化为且，构造新函数，利用导数来证明在区间上恒成立即可.

试题解析：（1）函数的定义域为，

，令，得，

当变化时，，的变化情况如下表：

极小值

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2）当时，.设，令，，

由（1）知在区间内单调递增，

，，

故存在唯一的，使得成立；

（3），由（2）知，，且，

，

其中，，要使成立，只需且，

当时，若，则由的单调性，有，矛盾，

所以，即，从而成立.

又设，则，

所以在内是增函数，在内为减函数，

在上的最大值为

成立，

当时，成立.

考点：1.函数的单调性与导数；2.零点存在定理；3.利用导数证明函数不等式