Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，.

（1）求证：OD//平面VBC；

（2）求证：AC⊥平面VOD；

（3）求棱锥的体积.

Answer

(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)

【解析】

试题分析：

(1)要证明面VBC,只需要在面内找到一条线段与平行即可,根据题目条件分析可得平行于面VBC内的线段BC,在三角形ABC中根据D,O是线段AC,AB的中点,即可得到OD为三角形BC边的中位线,即可得到,进而通过线线平行得到线面平行.

(2)要证明面VOD, ,根据AB为圆的直径可得,再根据第二问OD为三角形ABC的中位线,即可得到,因为三角形VCA为等腰三角形且D为AC中点,利用等腰三角形的三线合一即可得到VD垂直于AC,综上在面VOD内找到两条相交的线段与AC垂直,根据线面垂直的判定即可得到AC垂直于面VOD.

(3)要求三棱锥的体积,可以以三角形为底面,此时根据AC垂直于面VOD可以得到VO垂直于AC,又根据等腰三角形VAB的三线合一可以得到VO垂直于AB,则VO垂直于ABC面内相交的两条线段,故有VO垂直于面ABC,则三棱锥的高为VO,因为底面三角形ABC为等腰直角三角形,故,其中AC,BC可以利用三角形的勾股定理求的.而高VO的长可以利用直角三角形VOB的勾股定理求的,再利用三棱锥的体积公式即可求的相应的体积.

试题解析：

证明：（1）∵ O、D分别是AB和AC的中点，∴OD//BC . （1分）

又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC. （3分）

（2）∵VA=VB，O为AB中点，∴. （4分）

连接，在和中，,

∴≌VOC，∴=VOC=90，∴. （5分）

∵,平面ABC,平面ABC, ∴VO⊥平面ABC. （6分）

∵平面ABC，∴. （7分）

又∵，是的中点，∴. （8分）

∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴ AC平面DOV. （9分）

（3）由（2）知是棱锥的高，且. （10分）

又∵点C是弧的中点，∴，且，

∴三角形的面积， （11分）

∴棱锥的体积为， （12分）

故棱锥的体积为. （13分）

考点：三棱锥体积 线面平行 线面垂直 中位线 三线合一