Question

已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.

（1）求，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，求证数列的前项和．

Answer

(1) (2) （3）见解析

【解析】

试题分析：

(1)把点带入函数的解析式即可得到,利用数列前n项和的定义可得,则分别令带入式子即可得到的值.

(2)由(1)可得,则利用前n项和与之间的关系,令时, 然后验证首项,即可得到的通项公式.

(3)把(2)得到的带入,即可得到的通项公式,为求其前n项和,可以把进行裂项,进而采用裂项求和的方法即可得到,再利用非负即可证明

试题解析：

（1）∵点都在函数的图象上，

∴， （1分）

∴， （2分）

又，∴. （4分）

（2）由（1）知，，

当时， （6分）

由（1）知，满足上式， （7分）

所以数列的通项公式为. （8分）

（3）由（2）得 （11分）

（12分）

（13分）

. （14分）

考点：裂项求和 不等式 数列前n项和